Class 10th Maths NCERT Solutions chapter - 1 Exercise 1.2 - Ischool24
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Class 10th Maths NCERT Solutions chapter - 1 Exercise 1.2

Class 10th Maths NCERT Solutions 
chapter - 1 Exercise 1.2

प्रश्न 1- सिद्ध कीजिए कि $\sqrt{5}$ आपरिमेय संख्या है। 
हल- माना कि $\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है। 
तब - 
$ \Rightarrow \quad \sqrt{5} b=a $$ 
दोनो पक्षों में वर्ग करने पर 
$ \begin{aligned} & \Rightarrow \quad(\sqrt{5 }b)^2=a^2 \\ & \Rightarrow \quad\ 5b^2=a^2 \\ & \Rightarrow \quad 5 b^2=a^2 \\ & \Rightarrow \quad b^2=\frac{a^2}{5}........(1)\begin{array}{l} \end{array} \\ \end{aligned}$  
$5, a^2$ को विभाजित करती है, अतः 5, a को भी विभाजित करेगी। 
 
माना a = 5c 
जहाँ c कोई धनात्मक पूर्णांक है।
$ \begin{aligned} & \Rightarrow \quad 5 b^2=(5 c)^2 \\ & \Rightarrow 5 b^2=25 c^2 \\ & \Rightarrow \quad b^2=\frac{25 c^2}{5} \\ & \Rightarrow \quad b^2=5 c^2 \\ & \Rightarrow \quad \frac{b^2}{5}=c^2.........(2) \end{aligned} $
$5, b^2$ को विभाजित करती है, अतः 5, b को भी विभाजित करेगी। 

समी (II) व (II) से, 5 a और $b$ दोनो को विभाजित करता है। यह हमारी विरोधाभाष परिकल्पना के कारण प्राप्त हुआ है। 
अत: $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।

प्रश्न 2- सिद्ध कीजिए कि $3+2 \sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है। 

हल - माना कि $3+2 \sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है। 
$3+2 \sqrt{5}=\frac{a}{b}$ जहाँ a और b सह अभाज्य संख्या है। 

$ \begin{aligned} &\Rightarrow & 2 \sqrt{5}=\frac{a}{b}-\frac{3}{1} \\ &\Rightarrow \quad 2 \sqrt{5} & =\frac{a-3 b}{b} \\ &\Rightarrow \quad \sqrt{5} & =\frac{a-3 b}{2 b} \end{aligned} $ 

a, b एक पूर्णांक संख्या है। इसलिए -  $\frac{a-3 b}{2 b}$ एक परिमेय संख्या है, अर्थात् $\sqrt{5}$ क परिमेय संख्या है। हमें यह विरोधाभाष परिक्लपना के कारण प्राप्त हुआ है। 

अत: $3+2\sqrt{5}$ एक आपरिमेय संख्या है।

प्रश्न - 3 - सिद्ध कीजिये कि - निम्नलिखित संख्याएं अपरिमेय है ।

(i) $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 

हल- माना कि $\frac{1}{\sqrt{2}}$ एक परिमेय संख्या है। 
 $ \Rightarrow \quad \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{a}{b} $ 
जहाँ a और b सह अभाज्य संख्या है।

$\begin{aligned} & \Rightarrow \quad 1 \times b=a \times \sqrt{2}: \\ & \Rightarrow b=\sqrt{2 a} \end{aligned} $ 

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर - 

$ \begin{aligned} & \Rightarrow b^2=(\sqrt{2} a)^2 \\ & \Rightarrow \quad b^2=(\sqrt{2})^2 a^2 \\ & \Rightarrow b^2=2 a^2 \\ & \Rightarrow \quad \frac{b^2}{2}=a^2..........(1) \end{aligned} $ 
 
b = 2c, 

जहा c कोई धनात्मक पूर्णांक है। 

 $ \begin{aligned} & \Rightarrow(2 c)^2=2 a^2 \\ & \Rightarrow 4 c^2=2 a^2 \\ & \Rightarrow \frac{4 c^2}{2}= a^2 \end{aligned} $ 

 $ \begin{aligned} & 2 c^2=a^2 \\ & c^2=\frac{a^2}{2}............(2) \end{aligned} $ 

 $2, a^2$ को विभाजित करता है, अत: 2, a को भी विभाजित करेगा। 

 समी० 1 व 2 से - 2, a और b को विभाजित करती है। यह हमारी विरोधाभास परिकल्पना के कारण प्राप्त हुआ है। 

अत: $\frac{1}{\sqrt{2}}$ एक अपरिमेय संख्या है। 

 $ \text { (ii) } 7 \sqrt{5} $ माना $7 \sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है।
हल -
 $ \begin{aligned} \Rightarrow 7 \sqrt{5} & =\frac{a}{b} \\ \Rightarrow \sqrt{5} & =\frac{a}{7 b} \end{aligned} $ 
 जहाँ a और b सह अभाज्य संख्या है। 
 $a$ और $b$ पूर्णांक संख्या है। इसलिए $\frac{a}{7 b}$ एक परिमेय संख्या है, अत: $\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या होगी। 
यह हमारी विरोधाभास परिकल्पना के कारण प्राप्त हुआ है।

अत: $7 \sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।

$\text {(iii) }6+\sqrt{2}$ 
हल -
माना कि - $6+\sqrt{2}$ एक परिमेए संख्या है । 
तब 
$\Rightarrow 6 + \sqrt{2}=\frac{a}{b}$

जहाँ a और b सह अभाज्य संख्या है। 

$ \begin{aligned} & \Rightarrow \sqrt{2}=\frac{a}{b}-\frac{6}{1} \\ & \Rightarrow \sqrt{2}=\frac{a-6 b}{b} \end{aligned} $ 

$a$ और $b$ पूर्णांक संख्या है। 

इसलिए $\frac{a-6 b}{b}$ एक परिमेय संख्या है,अत:$\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है। यह हमारी विरोधाभास कल्पना के कारण प्राप्त हुआा है।

अत: $6+\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।

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