Class 10th Maths NCERT Solutions
chapter - 1 Exercise 1.2
हल- माना कि $\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है।
तब -
$
\Rightarrow \quad \sqrt{5} b=a
$$
दोनो पक्षों में वर्ग करने पर
$
\begin{aligned}
& \Rightarrow \quad(\sqrt{5 }b)^2=a^2 \\
& \Rightarrow \quad\ 5b^2=a^2 \\
& \Rightarrow \quad 5 b^2=a^2 \\
& \Rightarrow \quad b^2=\frac{a^2}{5}........(1)\begin{array}{l}
\end{array} \\
\end{aligned}$
$5, a^2$ को विभाजित करती है, अतः 5, a को भी विभाजित करेगी।
माना
a = 5c
जहाँ c कोई धनात्मक पूर्णांक है।
$
\begin{aligned}
& \Rightarrow \quad 5 b^2=(5 c)^2 \\
& \Rightarrow 5 b^2=25 c^2 \\
& \Rightarrow \quad b^2=\frac{25 c^2}{5} \\
& \Rightarrow \quad b^2=5 c^2 \\
& \Rightarrow \quad \frac{b^2}{5}=c^2.........(2) \end{aligned}
$
$5, b^2$ को विभाजित करती है, अतः 5, b को भी विभाजित करेगी।
समी (II) व (II) से, 5 a और $b$ दोनो को विभाजित करता है। यह हमारी विरोधाभाष परिकल्पना के कारण प्राप्त हुआ है।
अत: $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।
हल - माना कि $3+2 \sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है।
$3+2 \sqrt{5}=\frac{a}{b}$
जहाँ a और b सह अभाज्य संख्या है।
$
\begin{aligned}
&\Rightarrow & 2 \sqrt{5}=\frac{a}{b}-\frac{3}{1} \\
&\Rightarrow \quad 2 \sqrt{5} & =\frac{a-3 b}{b} \\
&\Rightarrow \quad \sqrt{5} & =\frac{a-3 b}{2 b}
\end{aligned}
$
a, b एक पूर्णांक संख्या है। इसलिए - $\frac{a-3 b}{2 b}$
एक परिमेय संख्या है, अर्थात् $\sqrt{5}$ क परिमेय संख्या है।
हमें यह विरोधाभाष परिक्लपना के कारण प्राप्त हुआ है।
अत: $3+2\sqrt{5}$ एक आपरिमेय संख्या है।
प्रश्न - 3 - सिद्ध कीजिये कि - निम्नलिखित संख्याएं अपरिमेय है ।
हल- माना कि $\frac{1}{\sqrt{2}}$ एक परिमेय संख्या है।
$
\Rightarrow \quad \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{a}{b}
$
जहाँ a और b सह अभाज्य संख्या है।
$\begin{aligned}
& \Rightarrow \quad 1 \times b=a \times \sqrt{2}: \\
& \Rightarrow b=\sqrt{2 a}
\end{aligned}
$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर -
$
\begin{aligned}
& \Rightarrow b^2=(\sqrt{2} a)^2 \\
& \Rightarrow \quad b^2=(\sqrt{2})^2 a^2 \\
& \Rightarrow b^2=2 a^2 \\
& \Rightarrow \quad \frac{b^2}{2}=a^2..........(1)
\end{aligned}
$
b = 2c,
जहा c कोई धनात्मक पूर्णांक है।
$
\begin{aligned}
& \Rightarrow(2 c)^2=2 a^2 \\
& \Rightarrow 4 c^2=2 a^2 \\
& \Rightarrow \frac{4 c^2}{2}= a^2
\end{aligned}
$
$ \begin{aligned}
& 2 c^2=a^2 \\
& c^2=\frac{a^2}{2}............(2)
\end{aligned}
$
$2, a^2$ को विभाजित करता है, अत: 2, a को भी विभाजित करेगा।
समी० 1 व 2 से - 2, a और b को विभाजित करती है। यह हमारी विरोधाभास परिकल्पना के कारण प्राप्त हुआ है।
अत: $\frac{1}{\sqrt{2}}$ एक अपरिमेय संख्या है।
$
\text { (ii) } 7 \sqrt{5}
$
माना $7 \sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है।
हल -
$
\begin{aligned}
\Rightarrow 7 \sqrt{5} & =\frac{a}{b} \\
\Rightarrow \sqrt{5} & =\frac{a}{7 b}
\end{aligned}
$
जहाँ a और b सह अभाज्य संख्या है।
$a$ और $b$ पूर्णांक संख्या है। इसलिए $\frac{a}{7 b}$ एक परिमेय संख्या है, अत: $\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या होगी।
यह हमारी विरोधाभास परिकल्पना के कारण प्राप्त हुआ है।
अत: $7 \sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।
$\text {(iii) }6+\sqrt{2}$
हल -
माना कि - $6+\sqrt{2}$ एक परिमेए संख्या है ।
तब
$\Rightarrow 6 + \sqrt{2}=\frac{a}{b}$
$
\begin{aligned}
& \Rightarrow \sqrt{2}=\frac{a}{b}-\frac{6}{1} \\
& \Rightarrow \sqrt{2}=\frac{a-6 b}{b}
\end{aligned}
$
$a$ और $b$ पूर्णांक संख्या है।
इसलिए $\frac{a-6 b}{b}$ एक परिमेय संख्या है,अत:$\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है। यह हमारी विरोधाभास कल्पना के कारण प्राप्त हुआा है।
अत: $6+\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।