Class 10th Maths NCERT Solutions chapter - 1 Exercise 1.1

Class 10th Maths NCERT Solutions chapter - 1 Exercise 1.1 

अध्याय - 1 - वास्तविक संख्याएं प्रश्नावली 1.1 

प्रश्न 1 - निम्नलिखित संख्याओं को अभाज्य गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए- 

 

(i) - 140

हल -

$$ \quad \begin{array}{c|c} 2 & 140 \\ \hline 2 & 70 \\ \hline 5 & 35 \\ \hline 7 & 7 \\ \hline & 1 \end{array} $$ 140 का अभाज्य गुणनखंड $=2^2 \times 5 \times 7$

(ii) - 156

हल -

$$ \quad\begin{array}{c|c} 2 & 156 \\ \hline 2 & 78 \\ \hline 3 & 39 \\ \hline 3 & 13 \\ \hline & 1 \end{array} $$ 156 का अभाज्य गुणनखंड $=2^2 \times 3 \times 13$

(iii) - 3825

हल -

$$ \begin{array}{c|c} 3 & 3825 \\ \hline 3 & 1275 \\ \hline 5 & 425 \\ \hline 5 & 85 \\ \hline 17 & 17 \\ \hline & 1 \end{array} $$ 3825 का अभाज्य गुणनखण्ड $=3^2 \times 5^2 \times 17$ 

(iv) - 5005

हल -

 $$ \begin{array}{c|c} 5 & 5005 \\ \hline 7 & 1001 \\ \hline 11 & 143 \\ \hline 13 & 13 \\ \hline & 1 \end{array} $$ 5005 का अभाज्य गुणनखण्ड $=5 \times 7 \times 11 \times 13$

(v) - 7429

हल -

$$ \quad\begin{array}{c|c} 17 & 7429 \\ \hline 19 & 437 \\ \hline 23 & 23 \\ \hline & 1 \end{array} $$ 7429 का अभाज्य गुणनखंड $=17 \times 19 \times 23$

प्रश्न - 2- पूर्णांकों के निम्नलिखित युग्मों के LCMऔर HFC ज्ञात कीजिए तथा इसकी जांच कीजिए कि दो संख्याओं का गुणनफल = HCF X LCM है।

(i) 26  और  91 

हल - $$ \begin{array}{c|c} 2 & 26,91 \\ \hline 13 & 13,91 \\ \hline 7 & 1,7 \\ & 1,1 \end{array} $$ 26 व 91 का L.C.M = 2 X 137 = 182

26 और 91 का HCF 

$$ \begin{array}{c|c} 2 & 26 \\ \hline 13 & 13 \\ \hline & 1 \end{array} $$ $$ \begin{array}{c|c} 7 & 91 \\ \hline 13 & 13 \\ \hline & 1 \end{array} $$
26 और 91 का HCF
26 = 2 x 13
91 = 7 x 13 

उत्तर की जाँच -

पहली संख्या X दूसरी संख्या = LCM X HCF
26 X 91 = 182 X 13
2366 = 2366
RHS = LHS

(ii)- 510 और 92 

हल - 510 और 92 का LCM 

$$ \begin{array}{c|c} 2 & 510,32 \\ \hline 2 & 255,46 \\ \hline 3 & 255,23 \\ \hline 5 & 85,23 \\ \hline 17 & 17,23 \\ \hline 23 & 1,23 \\ \hline & 1,1 \end{array} $$ 

510 और 92 का HCF - 

510 = 2 x 3 x 5 x 17 

92 = 2 x 2 x 23 

HCF = 2 

उत्तर की जाँच - 

पहली संख्या X दूसरी संख्या = LCM x HCF 

510 x 92 = 23460 x 2 

46920 = 46920

RHS = LHS 

(iii)- 336 और 54 

हल - 336 और 54 का LCM 

 $$ \begin{array}{c|c} 2 & 336,54 \\ \hline 2 & 168,27 \\ \hline 2 & 84,27 \\ \hline 2 & 42,27 \\ \hline 3 & 21,27 \\ \hline 3 & 7,9 \\ \hline 3 & 7,3 \\ \hline 7 & 7,1 \\ \end{array} $$
336 और 54 का LCM = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 x 7 = 3024
336 और 54 का HCF $$ \begin{array}{c|c} 2 & 336 \\ \hline 2 & 168 \\ \hline 2 & 84 \\ \hline 2 & 42 \\ \hline 3 & 21 \\ \hline 7 & 7 \\ \hline & 1 \end{array} $$ $$ \begin{array}{c|c} 2 & 54 \\ \hline 3 & 27 \\ \hline 3 & 9 \\ \hline 3 & 3 \\ \hline & 1 \\ \end{array} $$

336 और 54 का HCF
336 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 7
54 = 2 x 3 x 3 x 3
HCF = 6

पहली संख्या x दूसरी संख्या = LCM x HCF
336 x 54 = 3024 x 6
18144 = 18144
LHS = RHS

प्रश्न -3-  अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा निम्नलिखित पूर्णांकों के HCF और LCM ज्ञात कीजिए ।

(i) 12,15 और 21

हल- 12,15 और 21 का LCM $$\begin{array}{c|c} 2 & 12,15,21 \\ \hline 2 & 6,15,21 \\ \hline 3, & 3,15,21 \\ \hline 5 & 1,5,7 \\ \hline 7 & 1,1,7 \\ \hline & 1,1,1 \\ \end{array} $$
12,15 और 21 का LCM = 2 x 2 x 3 x 5x 7 = 420

12,15 और 21 का HCF $$ \begin{array}{l|l} \ 2 & 1 2 \\ \hline2 & 6 \\ \hline 3 & 3 \\ \hline & 1 \\ \end{array} $$ $$ \begin{array}{c|c} \ 3 & 15 \\ \hline 5 & 5 \\ \hline & 1 \\ \end{array} $$ $$ \begin{array}{c|c} \ 3 & 21 \\ \hline 7 & 7 \\ \hline & 1 \\ \end{array} $$ 

 

12,15 और 21 का HCF 

12= 2 x 2 x 3 

15 = 3 x 5

21 = 3 x 7 

HCF = 3

(ii) 17, 23 और 29 

हल - 17,23 और 29 का L.C.M

$$ \begin{array}{c|c} 17 & 17, & 23, & 29 \\ \hline 23 & 1, & 23, & 29 \\ \hline 29 & 1, & 1, & 29 \\ \hline & 1, & 1, & 1 \end{array} $$

17,23 और 29 का LCM $=17 \times 23 \times 29$

LCM = 11339

17,23 और 29 का H.C.F 

$$ \begin{array}{c|c} 17 & 17 \\ \hline & 1 \end{array} $$ $$ \begin{array}{l|l} 23 & 23 \\ \hline & 1 \\ \end{array} $$ $$ \begin{array}{l|l} 29 & 29 \\ \hline & 1 \\ \end{array} $$ 

17,23 और 29 का H.C.F 

17 = 17 x 1 

23 = 23 x 1 

29 = 29 x 1

H.C.F = 1

(iii) 8, 9 और 25 

हल - 8, 9 और 25 का LCM

$$ \begin{array}{l|l} 2 & 8,9,25 \\ \hline 2 & 4,9,25 \\ \hline 2 & 2,9,25 \\ \hline 3 & 1,9,25 \\ \hline 3 & 1,3,25 \\ \hline 5 & 1,1,25 \\ \hline 5 & 1,1,5 \\ \hline & 1,1,1 \\ \end{array} $$ 

8,9 और 25 का L.C.M. = 2×2×2×3×3×5×5 = 8×9×25 = 1800 

8,9 और 25 का H.C.F. 

$$ \begin{array}{c|c} 2 & 8 \\ \hline 2 & 4 \\ \hline 2 & 2 \\ \hline & 1 \end{array} $$ $$ \begin{array}{c|c} \hline 3 & 9 \\ \hline 3 & 3 \\ \hline & 1 \\ \end{array} $$ $$ \begin{array}{l|l} \hline 5 & 25 \\ \hline 5 & 5 \\ \hline & 1 \\ \end{array} $$ 

8,9 और 95 का H.C.F. 

8 = 2×2×2×1 

9 = 3×3×1 

25= 5×5×1 

HCF = 1

प्रश्न 4- HCF $(306,657)=9$ दिया है। LCM $(306,657)$ ज्ञात कीजिए 

हल -

HCF$\quad(306,657)=9$ 

पहली संख्या $N_1=306$ 

दूसरी संख्या $\mathrm{N}_2=657$ 

हम जानते हैं कि - 

                        पहली संख्या x दूसरी संख्या = LCM X HCF

$$ \begin{aligned} & \Rightarrow \quad N_1 \times N_2=LCM \times 9 \\ & \Rightarrow \quad {\frac{306 \times 657}{93}}=L \cdot C \cdot M . \\ & \Rightarrow \quad 34 \times 657=LCM\\ & \Rightarrow \quad LCM=22338 \end{aligned} $$ प्रश्न 5 - जांच कीजिए कि - क्या किसी प्राकृत संख्या n के लिए संख्या 6 अंक 0 पर समाप्त हो सकती है? 

हल $\rightarrow \quad 6 n$ का गुणनखंड $=(2 \times 3)_n$ जब कोई प्राकृत संख्या जो 0 पर समाप्त होती है उसकी अभाज्य गुणनखंड $(2 \times 5) n$ के रूप का होता है। 

अत: $6 n, 0$ पर समाप्त नही होगी। 

प्रश्न 6 $\rightarrow$ व्याख्या कीजिए कि $7 \times 11 \times 13+13$ और $7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1+5$ भाज्य संख्याएँ क्यों हैं। 

हल $\rightarrow$ 

माना  $$ \begin{aligned} A & =7 \times 11 \times 13+13 \\ & =13(7 \times 11+1) \\ & =13(77+1) \\ & =13 \times 78 \end{aligned} $$ अत: $\rightarrow$ यह एक भाज्य संख्या है। क्योंकि इसके अभाज्य गुणनखंड में 1 को छोड़कर, अन्य 2 गुणनखंड है। 

माना 

\begin{aligned} B & =7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1\times5 \\ & =5(7 \times 6 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1+1) \\ & =5(1008+1) \\ & =5 \times 1009 \end{aligned}

अतः यह एक भाज्य संख्या है, क्योंकि इसके की अभाज्य गुणनखंड क्योकि इसके भी अभाज्य गुणनखंड में, को छोड़कर अन्य 2 गुणनखंड हैं। को है।

प्रश्न 7 - किसी खेल के, मैदान के चारों और एक वृत्ताकार पथ है। इस मैदान का एक चवकर लगाने में सोनिया  को 18 मिनट लगते हैं, जबकि इसी मैदान का एक चक्कर लगाने में रवि को 12 मिनट लगतो है। मान लीजिए के दोनो एक की सथान कौर एक की समय पर चलना प्रारम्भ करके एक ही दिशा मे चलते है। कितने समय बाद के पुन: प्रारंभिक स्थान पर मिलेंगे?

हल -

एक चक्कर लगाने में सोनिया द्वारा लिया गया समय $=18$ मिनट

तथा रवि द्वारा एक चक्कर लगाने में लिखा गया समया $=12$ मिनट

वे दोनो एक ही स्थॉन पर LCM $(18,12)$ मिनट के बाद मिलेगे।

18 और 12 का L.C.M. - 

$$ \begin{array}{r|c} 2 & 18,12 \\ \hline 2 & 9,6 \\ \hline 3 & 9,3 \\ \hline 3 & 3,1 \\ \hline & 1,1 \end{array} $$

18 और 12 का L.C.M. =2×2×3×3 L.C.M. = 36 मिनट

36 मिनट समय बाद के पुन: प्रारंभिक स्थान पर मिलेंगे ।